Khoảng cách và dị thường tâm sai

Độ lệch tâm hay tâm sai e được định nghĩa là:

e = 1 − ( b a ) 2   . {\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ .}

Áp dụng định lý Pythagoras với tam giác có độ dài cạnh huyền r (khoảng cách FP):

r 2 = b 2 sin 2 ⁡ E + ( a e − a cos ⁡ E ) 2 = a 2 ( 1 − e 2 ) ( 1 − cos 2 ⁡ E ) + a 2 ( e 2 − 2 e cos ⁡ E + cos 2 ⁡ E ) = a 2 − 2 a 2 e cos ⁡ E + a 2 e 2 cos 2 ⁡ E = a 2 ( 1 − e cos ⁡ E ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}

Do đó khoảng cách từ tiêu điểm chính tới điểm P có liên hệ sau với dị thường tâm sai

r = a ( 1 − e cos ⁡ E )   . {\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)\ .}

Từ kết quả này có thể suy ra dị thường tâm sai từ dị thường thực:

Liên hệ với dị thường thực

Dị thường thực là góc ký hiệu bởi f trên hình, có đỉnh tại tiêu điểm chính của elip. Đôi khi nó còn được ký hiệu bởi chữ θ hay v. Dị thường thực và dị thường tâm sai có liên hệ như sau.[2]

Sử dụng công thức tính r trên, sin và cosin của E có thể được tính theo f :

cos ⁡ E = x a = a e + r cos ⁡ f a = e + ( 1 − e cos ⁡ E ) cos ⁡ f ⇒ cos ⁡ E = e + cos ⁡ f 1 + e cos ⁡ f sin ⁡ E = 1 − cos 2 ⁡ E = 1 − e 2 sin ⁡ f 1 + e cos ⁡ f   . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}}

Suy ra,

tan ⁡ E = sin ⁡ E cos ⁡ E = 1 − e 2 sin ⁡ f e + cos ⁡ f   . {\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}

Góc E do đó là cạnh kề của một tam giác vuông với cạnh huyền 1 + e cos ⁡ f , {\displaystyle \;1+e\cos f\;,} cạnh kề e + cos ⁡ f , {\displaystyle \;e+\cos f\;,} và cạnh đối 1 − e 2 sin ⁡ f . {\displaystyle \;{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\;.}

Ngoài ra,

tan ⁡ f 2 = 1 + e 1 − e tan ⁡ E 2 {\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}

thế cos E tìm được ở trên vào biểu thức tính r, khoảng cách từ tiêu điểm tới điểm P, cũng có thể được biểu diễn theo dị thường thực:[2]

r = a ( 1 − e 2 ) 1 + e cos ⁡ f = p 1 + e cos ⁡ f {\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}

trong đó

p ≡ a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}

được gọi là "bán trục bên" trong hình học cổ điển.

Tính dị thường thực

Nếu biết dị thường tâm sai có thể suy ngược ra dị thường thực f bằng các công thức:[3]

cos ⁡ f = cos ⁡ E − e 1 − e cos ⁡ E sin ⁡ f = 1 − e 2 sin ⁡ E 1 − e cos ⁡ E tan ⁡ f = sin ⁡ f cos ⁡ f = 1 − e 2 sin ⁡ E cos ⁡ E − e {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {f}&={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\sin {f}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {f}={{\sin {f}} \over {\cos {f}}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}

Dị thường thực có thể được suy ngược ra từ công thức tan:

tan ⁡ f 2 = 1 + e 1 − e tan ⁡ E 2 {\displaystyle {\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}} ⇒ f = 2   arctan ⁡ ( 1 + e 1 − e tan ⁡ E 2 ) {\displaystyle \Rightarrow f=2\ \operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}

Ngoài ra, một dạng khác của phương trình này[4] có thể được sử dụng để tránh khó khăn trong tính toán số khi đối số gần ± π {\displaystyle \pm \pi } và tránh các vấn đề về dấu.

tan ⁡ 1 2 ( f − E ) = β sin ⁡ E 1 − β cos ⁡ E {\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(f-E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}} với β = e 1 + 1 − e 2 {\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}

do đó

f = E + 2 arctan ⁡ ( β sin ⁡ E 1 − β cos ⁡ E ) {\displaystyle f=E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}

Từ dị thường trung bình

Dị thường tâm sai E được liên hệ với dị thường trung bình M bởi phương trình Kepler:[5]

M = E − e sin ⁡ E {\displaystyle M=E-e\sin E}

Phương trình này không có biểu thức nghiệm dạng đóng để suy ra E từ M. Nó có thể được giải bằng số, chẳng hạn phương pháp Newton–Raphson. Nó có thể được biểu diễn theo chuỗi Fourier

E = M + 2 ∑ n = 1 ∞ J n ( n e ) n sin ⁡ ( n M ) {\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}

trong đó J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)} là hàm Bessel loại thứ nhất.